Programa de la Fundación Pre MSc en Matemáticas Aplicadas

El Pre-Master's Foundation Program (PMFP) en Matemática Aplicada tiene como objetivo homogeneizar las carteras de competencias de los futuros estudiantes de los dos Programas de Maestría en Modelado Matemático e Ingeniería Matemática en la University Of L'Aquila , que incluyen el programa Erasmus Mundus "InterMaths - Matemáticas Interdisciplinarias" , el programa conjunto de maestría "MathMods" y el programa de doble titulación "InterMaths".

Dependiendo de los programas de estudios de pregrado del estudiante y del sistema educativo en su país de origen, los estudiantes que se inscriben en estos tres programas pueden presentar un conjunto muy diverso de habilidades en disciplinas que caracterizan estos programas de maestría. El PMFP en Matemáticas Aplicadas está diseñado para abordar este tema cubriendo competencias específicas tanto en matemáticas teóricas (Análisis Real y Álgebra Lineal) como en programación de computadoras. En cuanto a las matemáticas teóricas, el objetivo principal del PMFP es cerrar la brecha entre el "cálculo" y el "análisis real", un problema típico que surge con bastante frecuencia para los futuros estudiantes de maestría con una formación muy "aplicada".

El PMFM incluirá temas muy básicos de análisis real que permitirán a los estudiantes abordar el cálculo infinitesimal con una perspectiva rigurosa de "análisis real" (incluido el uso de pruebas matemáticas rigurosas). Por otro lado, los estudiantes con una sólida formación "teórica" a veces carecen de habilidades básicas de programación y computación. Por lo tanto, el PMFP proporciona una introducción básica a la programación informática y en particular al entorno informático "MATLAB", que se utiliza ampliamente en los cursos de análisis numérico de los programas de maestría mencionados anteriormente.

Módulos

Parte 1

• Un curso intensivo de álgebra lineal

Espacios lineales, dependencia lineal, bases de un espacio lineal, dimensión de un espacio lineal, subespacios lineales.

Matrices, operaciones básicas con matrices, cambio de coordenadas, determinantes, rango. Breve descripción de los sistemas lineales y la eliminación de Gauss.

Diagonalización de matrices cuadradas, autovalores, autovectores. Productos internos, formas bilineales y formas cuadráticas.

• Ecuaciones diferenciales: fundamentos

Introducción general a las ecuaciones diferenciales, problemas de Cauchy.

Existencia y singularidad de soluciones. Teoremas de Peano y Cauchy. Ejemplos, el pincel de Peano.

Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales. Ejemplos.

Un breve esbozo del análisis cualitativo de los problemas de Cauchy. Comparación de soluciones, soluciones máximas, existencia global de soluciones, explosión de soluciones. Ejemplos.

• Análisis real: fundamentos

Lógica proposicional. Cálculo proposicional.

Conjuntos, conjuntos de operaciones, relaciones, funciones. La cardinalidad de conjuntos, conjuntos contables, conjuntos incontables. Conjuntos de números elementales. Enteros y racionales. Principio de inducción.

Más sobre funciones: funciones inyectables y sobreyectivas, funciones invertibles, imagen y preimagen.

El conjunto de números reales. Axioma de separación, corta Dedekind. Infimum y supremum. Propiedad de Arquímedes. Números complejos: forma cartesiana y trigonométrica, propiedades básicas, potencias, raíces complejas, teorema fundamental del álgebra.

Secuencias de números reales: secuencias monótonas, convergencia de una secuencia, subsecuencias, limsup y liminf de una secuencia, teorema de Bolzano-Weierstrass.

Introducción a las funciones de los números reales. Funciones elementales: función exponencial y logarítmica, funciones trigonométricas, funciones irracionales. Funciones monótonas.

La topología de los números reales: intervalos, medias líneas, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados. La topología del espacio euclidiano Rn: bolas, conjuntos abiertos y cerrados. Conjuntos compactos en el espacio euclidiano.

Parte 2

• Introducción a MATLAB

El entorno MATLAB, Programación informática básica, Variables y constantes, Operadores y cálculos simples, Fórmulas y funciones. Cajas de herramientas de MATLAB.

Revisión de matrices y álgebra lineal, vectores y matrices en MATLAB, operaciones con matrices y funciones en MATLAB.

Algoritmos y estructuras, scripts y funciones de MATLAB (archivos m), algoritmos secuenciales simples, estructuras de control (si ... entonces, bucles).

Lectura y escritura de datos, manejo de archivos, funciones personalizadas, funciones gráficas MATLAB. Sesiones prácticas interactivas.

• Introducción a la Programación

Algoritmos, programas y lenguajes de programación.

El entorno de aprendizaje para el lenguaje de programación Python y Turtle Graphics. Comandos y secuencias de comandos. Escribir y ejecutar un programa.

Iteración definida. Procedimientos: definir y llamar a funciones de Python. Procedimientos con parámetros.

Variables y objetos. Tipos de datos básicos en Python. Expresiones

Selección, recursividad e iteración indefinida.

Estructuras de datos básicas en Python: tuplas, cadenas, listas, diccionarios.